Ich kann ja hier nur von erwachsenen Hunden sprechen, unser Neuzugang ist schon vier Jahre, verfolgt mich aber auch über all hin. Ich lebe meinen Alltag hier normal weiter und mache eben auch mal Türen hinter mir zu. Er darf nachts im Bett schlafen, tagsüber darf er mich nicht nach oben verfolgen, im Zweifel würde ich wie schon vorgeschlagen ein Kindergitter anbringen so dass er dich sehen kann aber nicht bis zum Ende verfolgen.
Ich habe das Glück dass er gut erzogen ist und auch schon darauf reagiert wenn ich ihn auf seinem Platz schicken, das würde ich auch bei einem Welpen schon früh trainieren, es ist einfach auch für den Hund nicht schön wenn er ständig Hinterherdackeln muss weil er Angst hat etwas zu verpassen.
Ansonsten lass dir gesagt sein dass das ein normales Verhalten ist für einen Welpen, gehe langsam und behutsam aber konsequent vor. Du tust dem Hund keinen Gefallen wenn du es nicht übst, aber über immer so das er nicht in Panik verfällt, also zum Beispiel Tür zu und sofort wieder raus. Überfordere den kleinen nicht, aber lass ihm auch nicht alle Narrenfreiheit, du kommst unter Umständen irgendwann nicht mehr raus.