Bei mir ging es so...der Ta kommt nach der Sprechstunde zu mir nach Hause und macht dann alles notwendige...es kostet etwas mehr Geld, weil zum einen die Anfahrt bezahlt werden muß und der Zuschlag nach Sprechstunde, das ist mir aber in dem Fall völlig piepe.

Jeder TA der auch Hausbesuche macht (gibt auch TAe die das komplett verweigern) würde deinen Hund auch zu Hause einschläfern.
Am besten erkundigst du dich vorab bei deinem TA um das in Erfahrung zu bringen.